Prečo nekonečno nie je obyčajné číslo

Prečo nekonečno nie je obyčajné číslo

Nasleduje úryvok z Beyond Infinity: Expedícia k vonkajším hraniciam matematiky , od Eugenia Cheng

Matematika môže predstavovať toľko vecí: jazyk, nástroj, hra. Možno sa vám to nezdá ako hra, keď sa snažíte urobiť si domácu úlohu alebo zložiť skúšku, ale pre mňa je jednou z najzaujímavejších častí bádania, keď práve začínate s niečím novým a máte možnosť hrať sa s nápady na zábavu. Je to trochu ako hranie sa s ingredienciami v kuchyni, čo je zábavnejšie, ako sa snažiť zapísať recept, ktorý ste vymysleli, pre prípad, že by ste si ho chceli zopakovať. A to je zase väčšia zábava, ako snažiť sa zapísať recept pre niekoho iného, ​​aby ho mohol zopakovať.



Začnem tým, že sa trochu pohrám s myšlienkou nekonečna, aby sme si uvoľnili mozgy a začali skúmať, čo si myslíme, že by na tom mohla byť pravda a aké to má dôsledky. Matematika je o používaní logiky na pochopenie vecí a zistíme, že ak si nedáme pozor na to, čo presne myslíme pod pojmom „nekonečno“, logika nás zavedie na veľmi zvláštne miesta, kam sme nechceli ísť. . Matematici začínajú hraním sa s nápadmi, aby získali pocit, čo by mohlo byť možné, dobré a zlé. Keď bolo Lego prvýkrát vyrobené, dizajnéri sa museli najskôr pohrať s nejakými prototypmi, kým sa rozhodli pre nádherný konečný dizajn.

[ Matematička Eugenia Chengová hovorí o zložitých hlavolamoch nekonečna .]

Matematická „hračka“ by mala byť ako Lego: dostatočne pevná na to, aby mohla stavať veci, ale dostatočne všestranná na to, aby otvorila veľa možností. Ak prídeme s prototypom pre nekonečno, ktorý spôsobí kolaps niečoho dôležitého, potom sa musíme vrátiť k rysovacej doske. Po našich úvodných hrách sa niekoľkokrát vrátime k rysovacej doske, keď prejdeme rôznymi spôsobmi myslenia o nekonečne, ktoré sa pokazia a spôsobia kolaps. Keď sa konečne dostaneme k niečomu, čo vydrží, nemusí to vyzerať tak, ako ste očakávali. A spôsobí to, že sa stanú veci, ktoré ste možno ani nečakali, napríklad zvláštny fakt, že existujú rôzne veľkosti nekonečna, takže niektoré veci sú „nekonečnejšie“ ako iné. Toto je krásny aspekt akejkoľvek cesty – objavovanie vecí, ktoré ste neočakávali.

V predchádzajúcej kapitole som uviedol niekoľko počiatočných myšlienok o nekonečne.

Znamená to, že nekonečno je typ času alebo priestoru? Dĺžka?

Teraz sa zdá, že nekonečno je typ veľkosti. Alebo je to niečo abstraktnejšie: číslo, ktoré potom môžeme použiť na meranie času, priestoru, dĺžky, veľkosti a vlastne čohokoľvek, čo chceme? Zdá sa, že naše ďalšie myšlienky zaobchádzajú s nekonečnom, ako keby to bolo v skutočnosti číslo.

Toto sa hovorí

čo by sa mohlo zdať ako veľmi základný princíp o nekonečne. Ak je nekonečno tou najväčšou vecou, ​​aká existuje, potom to pridaním jedného nemôže byť väčšie. Alebo môže? Čo ak potom odpočítame nekonečno z oboch strán? Ak použijeme nejaké známe pravidlá zrušenia, zbavíme sa nekonečna na každej strane a odídeme

čo je katastrofa. Očividne sa niečo pokazilo. Pri ďalšej myšlienke sa pokazí viac vecí:

Zdá sa, že to hovorí

teda

a teraz, ak vydelíme obe strany nekonečnom, mohlo by to vyzerať tak, že môžeme jednoducho zrušiť nekonečno na každej strane a nechať

čo je ďalšia katastrofa. Možno už tušíte, že sa stane niečo strašné, ak sa príliš zamyslíme nad posledným nápadom:

Ak to napíšeme, dostaneme

a ak obe strany vydelíme nekonečnom, pričom na každej strane zrušíme jedno nekonečno, dostaneme

čo je možno najhorší a najnesprávnejší výsledok zo všetkých. Nekonečno má byť najväčšia vec, aká existuje; rozhodne sa to nemá rovnať niečomu takému, ako je 1.

Beyond Infinity: Expedícia k vonkajším hraniciam matematiky

Kúpiť

Čo sa pokazilo? Problém je v tom, že sme manipulovali s rovnicami, ako keby nekonečno bolo obyčajným číslom, bez toho, aby sme vedeli, či ním je alebo nie. Jedna z prvých vecí, ktoré v tejto knihe uvidíme, je to, čo nekonečno nie je a rozhodne to nie je obyčajné číslo. Postupne sa prepracujeme k tomu, aby sme zistili, aký typ „veci“ má zmysel pre nekonečno. Toto je cesta, ktorá matematikom trvala tisíce rokov a zahŕňala niektoré z najdôležitejších vývojových trendov matematiky: teóriu množín a počet, len pre začiatok.

Morálka tohto príbehu spočíva v tom, že hoci myšlienka nekonečna sa dá celkom ľahko vymyslieť, musíme byť dosť opatrní, čo s ňou robíme, pretože sa začnú diať divné veci. A to bol len začiatok čudných vecí, ktoré sa môžu stať. Pozrieme sa na všetky druhy divných vecí, ktoré sa dejú s nekonečnom, s nekonečnými zbierkami vecí, hotelmi s nekonečnými izbami, nekonečnými pármi ponožiek, nekonečnými cestami, nekonečnými koláčikmi. Niektoré divné veci sú ako 1 = 0, nielen divné, ale aj nežiaduce. Takže sa snažíme vytvoriť naše matematické nápady, aby sme sa im vyhli. Ale iné divné veci nie sú v rozpore s logikou, len protirečia normálnemu životu. Tieto podivné veci nespôsobujú problémy našej logike, ale spôsobujú problémy našej predstavivosti. Ale môže byť veľmi vzrušujúce napínať našu predstavivosť, ako to robia spisovatelia beletrie, keď vytvárajú človeka, ktorý žije nekonečne dlho (nesmrteľnosť) alebo ktorý dokáže nekonečne rýchlo cestovať (teleportácia). A nie je to len vzrušujúce: môže to vrhnúť nové svetlo do nášho bežného života. Keď sú postavy vo fikcii nesmrteľné, často si uvedomia, že konečnosť života je vlastne to, čo mu dáva zmysel.


Výňatok z Beyond Infinity: Expedícia k vonkajším hraniciam matematiky , od Eugenia Cheng. Copyright 2017. Dostupné od Basic Books, odtlačok Perseus Books, divízie PBG Publishing, LLC, dcérskej spoločnosti Hachette Book Group, Inc.