Kuchynská matematika: Ako jesť π koláče

Kuchynská matematika: Ako jesť π koláče

Foto s láskavým dovolením Michaela Mosesa

Nalaďte si Vedecký piatok 14. marca 2015 aOslava dňa pí.

Každé dieťa vie, ako urobiť svoj koláč ako posledný: zjedz polovicu, potom zjedz polovicu toho, čo zostalo, potom zjedz polovicu toho... a tak ďalej. Časť, ktorá zostane, sa bude zmenšovať a zmenšovať, až ju nakoniec už ani nebudete môcť vidieť a celkové množstvo zjedeného koláča sa veľmi, veľmi priblíži k jednej, hoci to bude trvať večnosť.



Čo ak chcete zjesť nie jeden koláč, ale π koláčov? Tu je návod, ako to urobiť. Začnite so štyrmi celými koláčmi na tanieroch. Z každého z nich odstráňte tretinu. Potom z každej tretiny odrežte plátok veľkosti pätiny celého koláča. Tie pätiny dajte späť s koláčmi na taniere.

Zatiaľ máte na tanieroch toľko koláča:

Teraz pokračuj. Z každého koláča na tanieroch odoberte plátok veľkosti sedminy celého koláča. Potom z každého z týchto plátkov odrežte plátok veľkosti jednej desatiny celého koláča a plátky vložte späť s koláčmi na taniere. Potom odstráňte jedenástku. Vráťte trinástku. Odstráňte pätnástku. Vráťte sedemnástku. Proces, ktorý vykonávate, je tento:

Množstvo koláča, ktoré zostalo na tanieroch, sa nakoniec bude musieť stabilizovať, pretože v každej fáze sa pohybujete o niečo menej ako v predchádzajúcej fáze, takže vaše celkové množstvo koláča sa bude musieť niečomu priblížiť – a to je náhodou iracionálne číslo. π. Teraz si užite svoje pi(e)!

Na číslach je fascinujúce, že môžete sčítať nekonečnú postupnosť racionálnych čísel (zlomky, kde horná a spodná časť sú celé čísla) a získať iracionálne číslo (číslo, ktoré nemožno vyjadriť zlomkom). Neznie to ako zmysel, pretože zakaždým, keď pridáte zlomok, získate ďalší zlomok... ale keď začnete sčítať nekonečné množstvo vecí, môžu sa začať diať divné veci.

Aby sme pochopili, prečo vyššie opísaný proces skutočne dáva pí, je potrebných niekoľko kapitol knihy o pokročilom počte. Ak sa však venujete pečeniu, existuje čudne jednoduchší spôsob, ako získať približnú hodnotu pi pomocou kuchynskej matematiky. Mnohí pekári vedia, že namiesto toho môžete použiť recept na 9-palcový okrúhly koláč na výrobu 8-palcového štvorcového koláča. Ak vezmeme do úvahy vzorec πr^2 (používaný na výpočet plochy kruhu), tento pekársky trik naznačuje, že π4,5^2 = 8×8=64.

Ak to použijeme na aproximáciu pi, dostaneme:

...čo je bližšie ako aproximácia, ktorú sme získali vyššie pomocou luxusnej matematiky, a rozhodne dosť dobrá na tortu!