Nasleduje úryvok z Myseľ a hmota: Život v matematike a futbale od Johna Urschela a Louisy Thomasovej.
Keď sme s otcom nechodili do telocvične, chodili sme do knižnice na Univerzite v Buffale, kým som zamieril domov k mame.
Jedného dňa, keď som bol v ôsmej triede, keď som si robil nejaké domáce úlohy a môj otec pracoval na probléme, ktorý bol stanovený pre jeho magisterský program ekonómie, spýtal som sa ho, na čom pracuje. Toto je matica, povedal a ukázal mi pravouhlé usporiadanie čísel v riadkoch a stĺpcoch, ktoré držali spolu dlhé zátvorky na ľavej a pravej strane. Potom ukázal na čísla v zátvorkách. The čísla sú a prvkov z a a trix. Vysvetlil, ako sčítať, odčítať a násobiť rôzne matice dohromady. sú celkom užitočné, povedal. Pozri ako toto matica má tvar štvorca? Niektoré z jeho vlastností sa môžeme naučiť výpočtom niečoho, čo sa nazýva determinant. To je to, na čom teraz pracujem.
Kúpte si knihu
Myseľ a hmota: Život v matematike a futbale
KúpiťAko vypočítate determinant? Opýtal som sa. Ukázal mi, ako použiť dobre definovaný determinant matice 2 × 2 – maticu s dvoma riadkami a dvoma stĺpcami – na určenie determinantu matice akejkoľvek veľkosti.
O pár minút neskôr som sa hral s matrikami – dával som ich dokopy, obracal hore nohami a sám som skúšal, aké domáce úlohy má môj otec. Prekvapene na mňa pozeral.
V to leto pred ôsmou triedou ma moja mama prihlásila do letného tábora pre deti, ktoré sa zaujímali o strojárstvo, ako to mala ona už niekoľko let po sebe. Tento rok som sa však nudil. Páčili sa mi ostatné deti v triede, ale nedokázal som pochopiť ich nadšenie pre projekty, ktoré sme robili. Vyrábali sme rakety poháňané octom a sódou bikarbónou a stavali sme modely z balzového dreva a lepidla. Zdalo sa, že sa všetci okrem mňa bavia. Bolo mi mizerne. Zdalo sa mi, že nerobíme reálny matematika alebo veda. Neučili sme sa nič vzrušujúce, ťažké alebo nové. Určite nás nevyzývali spôsobom, ktorý som očakával a chcel byť vyzvaný. Rakety z jedlej sódy? Mohli sme tiež postupovať podľa pokynov zo súpravy dostupnej v hračkárstve. Nemal som problém s hrami – miloval som hry – ale projekty, ktoré sme dostali, vo mne vyvolali pocit, akoby sa s nami zaobchádzalo ako s deťmi.
Mám nápad, povedal môj otec, keď som sa mu sťažoval. Použil svoj študentský preukaz z University of Buffalo na to, aby ma počas letného semestra zapísal ako audítora do kurzu pre študentov podnikania. Volal sa John Urschel; moje meno bolo John Urschel. A mohol som sa považovať za niekoho oveľa staršieho, ako je môj vek, keďže som mal takmer 180 cm.
V triede bolo asi tridsať ľudí, väčšinou obchodných smerov. Kurz viedol postgraduálny študent, ktorý vyzeral takmer rovnako nervózne ako ja. Nemotorne sa pokúšal spojiť so študentmi rozprávaním o svalových autách pred začiatkom vyučovania. Ostatní študenti ho väčšinou ignorovali – a chvíľu ignorovali aj mňa. Moje nervy z odhalenia rýchlo zmizli. Bola som nadšená z výzvy zapadnúť – robiť prácu dostatočne dobre, aby nikto nebol múdrejší. Páčila sa mi anonymita pasovania za niekoho staršieho, niekoho iného – iného Johna Urschela, Johna Urschela, ktorý mohol byť akýmkoľvek bežným študentom vysokej školy.
Až na to, že vášho priemerného študenta pravdepodobne nebaví robiť domáce úlohy týkajúce sa počtu.
Učiť sa kalkulu bolo ako učiť sa tajný kód. Ak ste o tom nevedeli, veľká časť fyzického sveta bola nerozlúštiteľná. Ale keby ste vedeli kalkul, mohli by ste opísať obežnú dráhu planét alebo špirálu futbalovej lopty. Nenapadlo mi, že kalkul by mal byť pre mňa príliš ťažký – a nebolo. Som presvedčený, že ani pre väčšinu ostatných trinásťročných by to nebolo príliš ťažké, keby si nemysleli, že kalkul je pre nich príliš pokročilý. V skutočnosti by desaťročné dieťa mohlo pochopiť základné témy, ak by nevykonávalo výpočty. Otázka, ktorou kalkul začína, je základná: čo sa stane, ak si hladkú krivku predstavíme ako priamku?
Už len táto otázka stačila na to, aby niektorí matematicko-fóbni ľudia z mojej triedy vypli mozog. Bolo vidieť, ako sa im zalesknú oči, ešte predtým, ako museli vyriešiť jediný problém. Znie to ako protirečenie: krivka ako priamka? Ale je veľmi ľahké si to predstaviť. Predstavil som si delovú guľu vystrelenú priamo cez povrch zeme. Keď preletel okolo, videl by som len kúsok z jeho dráhy vzduchom, takže pre moje oko by to vyzeralo, že sleduje plochú trajektóriu. Keby však bolo možné vidieť delovú guľu z veľkej diaľky, videl by som celú jej dráhu. Pokiaľ sa do niečoho neroztrhne, nakoniec by som mohol vidieť krivku projektilu smerom k zemi, keď ju gravitácia ťahala smerom k zemi (ktorá, samozrejme, sama o sebe vyzerá plocho, ale v skutočnosti je okrúhla). Potom som si pomyslel, ako sa vzduchom pohybuje futbalová lopta. Viem, že hodený futbal nasleduje oblúk. Čo keby som videl len malý úsek jeho cesty? Ak by bol odhodený tvrdo a priamo, vyzeralo by to, akoby sa pohyboval po priamke. Ak by ste nakreslili oblúk futbalovej lopty na kus papiera a potom priblížili k časti oblúka, stalo by sa to isté: krivka by sa sploštila a potom ešte viac, až by vyzerala ako priamka. Čím viac priblížite, tým bude čiara rovnejšia. Ak ste priblížili tak blízko, že segment bol nekonečne malý – menší ako akákoľvek veľkosť, ktorú si dokážete predstaviť, ale väčší ako nula – ukáže sa, že krivka nebude vyzerať len ako priama čiara. Bolo by to nekonečne blízko k jednej.
To si viac-menej uvedomil Isaac Newton už v sedemnástom storočí. Sklon tejto čiary (výpočet jej strmosti) sa nazýva derivácia a tvorí základ jednej z dvoch hlavných vetiev počtu, diferenciálneho počtu. (Proces hľadania derivátu sa nazýva diferenciácia.)
Naučil som sa, že derivácia môže byť veľmi užitočným spôsobom merania zmien. Umožňuje nám spojiť polohu, rýchlosť a zrýchlenie futbalovej lopty – alebo lietadla, strely, planéty, zrnka prachu. Alebo – keďže som chodil na ekonomickú triedu – nám to umožňuje reprezentovať a vysvetliť ekonomické správanie, ako je minimalizácia nákladov a maximalizácia zisku. Druhá vetva počtu, integrálny počet, súvisí s diferenciálnym počtom (to je v skutočnosti základná veta počtu), ale zaoberá sa otázkami plochy, objemu a posunutia tak, že nám umožňuje vypočítať plochu pod krivkou. . Je pomerne jednoduché vypočítať plochu čohokoľvek ohraničeného rovnými čiarami – stačí ju rozdeliť na zväzok trojuholníkov – ale ťažšie, keď sa zaoberáte plochou pod, povedzme, horskou dráhou. Ukázalo sa, že oblasť pod krivkami môžete rozdeliť na hromadu nekonečne tenkých obdĺžnikov a potom ich všetky pridať. Rýchlo som pochopil, že kalkul, nech sa presuniem zo sveta, ktorý bol statický a zamrznutý, do sveta, ktorý sa mohol pohybovať a plynúť. Bolo to, ako keby som vystúpil z fotografie a vstúpil do filmu. Zrazu mohol plynúť čas, rýchlosť sa mohla zrýchliť, gravitácia by mohla ťahať, ekonomiky mohli rásť.
Bolo ľahšie pochopiť kalkul ako ďalší jazyk, pretože niektoré z nich bol v inom jazyku. Naučili sa nové symboly, niektoré z gréčtiny. Nespočetné hodiny rébusov a hlavolamov mi pomohli naučiť sa pohybovať medzi numerickým a symbolickým myslením. Okrem toho bolo pre dieťa niečo vzrušujúce na tom, keď sa na matematiku pozeralo ako na druh kódu. Naučiť sa to by mi dalo schopnosť opísať poloskrytý svet – náš svet, pri ktorom sa málokedy zastavíme. Nešlo o to, že by bolo pre mňa extrémne ľahké počítať diferenciálne rovnice a integrály. Bojoval som s pokročilejšími technikami ako všetci ostatní. Ale nevnímal som bežnú myšlienku, že slovo „kalkul“ je v podstate synonymom pre niečo nemožné. Namiesto toho som to videl ako spôsob, ako opísať fyzický svet tak, ako ho všetci zažívame. Počet bol spôsob, ako zmeniť fyzický svet na hádanky, a ja som hádanky nikdy neprestal milovať.
Samozrejme, ešte som nedokázal úplne vyriešiť hádanky. V tej triede som všetkému nerozumel. Úplné pochopenie myšlienky niečoho nekonečne malého alebo tenkého, alebo napríklad spájanie nekonečne veľa vecí, si vyžadovalo pochopenie konceptu nekonečna, ktorý by som nedosiahol až na vysokej škole – ak potom. Považoval som za samozrejmosť, že viem, čo je „nekonečno“, kým som nebol nútený s ním manipulovať pokročilejšími spôsobmi. Ale nepotreboval som takú úroveň porozumenia, aby som dobre vedel počítať. Myslel som si, že táto téma je prístupná, čiastočne preto, že som bol príliš mladý na to, aby mi vtĺkali do hlavy, že by to tak nemalo byť. Nebál som sa kalkulu. Vzrušovalo ma to. Bolo to ako reálny matematika. Odhaľovalo to niečo zásadné o svete. A možno to prezradilo niečo zásadné aj o mne. Chcel som takúto výzvu. Páčilo sa mi čeliť očakávaniam. Chcel som robiť veci, o ktorých ľudia predpokladali, že niekto ako ja – v tomto prípade dieťa, ktoré ešte ani nenastúpilo na strednú školu – nemôže robiť. A chcel som sa naučiť veci, ktoré boli prísne, zaujímavé a prekvapivé. Bol som ochotný dať si tú prácu.
Pokojne som sedel v zadnej časti triedy a dúfal, že nevzbudím pozornosť. Nesnažil som sa spriateliť. Ale po chvíli si niekoľko ďalších študentov začalo všímať, že sa mi darí. Keď ma učiteľ zavolal, bola som pripravená s odpoveďou. Keď prešiel problémovými súbormi a skúškami, moje známky boli neustále vysoké. Jedného dňa, keď som čakal na začiatok prednášky, prišiel ku mne jeden z mojich spolužiakov a prihovoril sa mi. Nazdar kamoš, povedal, urobil už ste dokončili sadu problémov? Potrebovala by som pomoc. Vkĺzol do kresla vedľa mňa a ja som ho prešiel cez prácu. Ako plynul semester, prichádzalo za mnou viac študentov a žiadali ma o pomoc s domácimi úlohami alebo o ujasnenie si niečoho. Zdalo sa, že si na mne nikto nevšimol nič nezvyčajné, okrem toho, že som mal dobrý prehľad o kurze – a tak sa mi to páčilo.
Prevzatý z Myseľ a hmota: Život v matematike a futbale , vydané vydavateľstvom Penguin Press, odtlačok Penguin Publishing Group, divízie Penguin Random House LLC. Copyright © 2019 John Urschel a Louisa Thomas.